BZOJ3884 上帝与集合的正确用法

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WildRage 3月 24, 2018
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Description

根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天,上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天,上帝创造了一个新的元素,称作“$\alpha$”。“$\alpha$”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“$\alpha$”。
第三天,上帝又创造了一个新的元素,称作“$\beta$”。“$\beta$”被定义为“$\alpha$”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“$\beta$”。
第四天,上帝创造了新的元素“$\gamma$”,“$\gamma$”被定义为“$\beta$”的集合。显然,一共会有$16$种不同的“$\gamma$”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有$65536$种,第五种元素将会有$2^{65536}$种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“$\theta$”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“$\theta$”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对$p$取模后的值即可。
你可以认为上帝从“$\alpha$”到“$\theta$”一共创造了$10^9$次元素,或$10^{18}$次,或者干脆$\infty$次。
一句话题意:

$$2^{2^{2^{2^{\cdots}}}}$$
对$p$取模后的值

Input

接下来$T$行,每行一个正整数$p$,代表你需要取模的值

Output

$T$行,每行一个正整数,为答案对$p$取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于$100\%$的数据,$T<=1000$,$p<=10^7$

题解

根据扩展欧拉定理
$$x^b \equiv x^{b MOD \phi(p) + \phi(p)} (MOD P)$$
对于所有的$P$都成立
然后我们就可以做了
已知任何数模$1$等于$0$
递归求解

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
long long pow_mod(long long a, int b, int MOD)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return ans;
}
int phi(int x)
{
    int ans = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            while (x % i == 0) x /= i;
            ans = ans - ans / i;
        }
    }
    if (x != 1) ans = ans - ans / x;
    return ans;
}
int Calc(int P)
{
    if (P == 1) return 0;
    int x = phi(P);
    return (int)pow_mod(2, Calc(x) + x, P);
}
int main()
{
    int T = read();
    while (T--)
    {
        int p = read();
        printf ("%d\n", Calc(p));
    }
}

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